Список задач ( open problems)

http://aimpl.org/

Задача № 1, ШАД-2013, Новосибирск

Рассмотрим функцию
$\varphi(x) = \sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^{2[\log_2k]}}x^k$.
Найдите $\int\limits_0^1\varphi(x)\varphi'(x)\,dx$.

Это задача №1, ШАД-2013, Новосибирск.

Школа анализа данных -- задача про многочлен

Покажите, что многочлен с действительными коэффициентами, принимающий на действительной оси только положительные значения, может быть представлен в виде суммы квадратов многочленов с действительными коэффициентами.

Это задача №3 из примера варианта письменного экзамена в школу анализа данных Яндекса.

Школа анализа данных -- задача про $\sin^8 x$

Вычислите $\int\limits_0^{2\pi}(\sin x)^8\,dx $.

Это задача №2 из примера варианта письменного экзамена в школу анализа данных Яндекса.

Школа анализа данных -- задача про 2012 гирек

Даны 2012 гирек разной массы. Они разбиты на две группы (по 1006 в каждой),внутри которых упорядочены по массе. Предложите способ за 11 взвешиваний найти 1006-ую гирьку по массе среди всех.

Это задача №1 из примера варианта письменного экзамена в школу анализа данных Яндекса.

http://en.wikipedia.org/wiki/Happy_Ending_problem

Интересные задачи

1) Пусть $z_n$ - последовательность комплексных чисел стремящаяся к бесконечности.
 Что можно сказать о нулях ряда $$ f(z) = \sum{\frac{a_n}{z-z_n}},$$ где $a_n$ некоторая последовательность сходящаяся к нулю?

 2)Найти необходимые и достаточные условия на последовательность {a_n}, для ограниченности степенного ряда \sum{a_nx^n} на действительной прямой.

 3)Пусть H - бесконечномерное сепарабельное гильбертово пространство. Пусть A:H->H линейный ограниченный оператор. Имеет ли A нетривиальное инвариантное подпространство?

Open Problem Garden

http://garden.irmacs.sfu.ca/   

Забавная формула

Я никогда не видел такой формулы, во всяком случае никогда не пользовался. $$ \int e^x[f(x)+f`(x)]dx= e^x f(x) $$ Даже пришлось проверить. Конечно же, это одна из вариаций интегрирования по частям. Тем не менее есть задачки на эту формулу:

Школьная задачка

Вот интересная школьная задачка

Натуральные числа $a$, $b$ и $c$ таковы, что
$ab+bc+ca+3(a+b+c)=5480$,

$\frac{1}{2}abc–a–b–c=1812$.
Найдите наименьшее значение $a+b+c$.

Решение под катом

Unsolved Probelms in Function Theory

Unsolved Probelms in Function Theory:

'via Blog this'

http://www.springerlink.com/content/fu672050113474u7/

Пример топологического поля, которое не гомеоморфно метризованному полю

Эту задачу нам задали на аналитической теории чисел. ММФ НГУ 2010.

Задача:  Приведите пример топологического поля, не гомеоморфного никакому метризованному полю.
Решение:  Пусть $X$ -  поле, $(F, v)$ - любое метризованное поле. Введём на нём топологию $\tau = \{X, \emptyset\}$ , состоящую из всего пространства $X$ и пустого множества (антидискретная топология). Тогда любая функция в $X$ будет непрерывна, т.е. непрерывны $+$ и $\cdot$. Таким образом $(X, \tau)$ - топологическое поле.
Пусть $f : X\to F$ - взаимооднозначное соответствие.  Предположим, что $f$ непрерывно. Возьмём последовательности $x_n \to x$ в $(X, \tau)$, тогда в силу непрерывности $f(x_n) \to f(x)$  Но в пространстве $(X, \tau)$ любая последовательность сходится к любому элементу (предел последовательности): $x_n \to y$  $(y \ne x)$. Следовательно $f(x_n) \to f(у)$ Противоречие т.к. в $(F, v)$ предел единствен.

?

1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ... = ?