Вычислить интеграл
$$ \int^{\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^{2014}x}{\sin^{2014}x+\cos^{2014}x}\, dx. $$

Математическое ожидание числа неподвижных точек

Найдите математическое ожидание числа неподвижных точек для случайной перестановки на $n$ элементах.

Это задача №4 ШАД-2013, Новосибирск.

Определим последовательность $\{x_n\}$ начальными условиями $x_1=a$,
$x_2=b$ и рекуррентной формулой $x_{n+1}=\frac{1}{2}(x_n+x_{n-1})$.
Найдите $\lim\limits_{n\to\infty}x_n$.

Это задача №3, ШАД-2013, Новосибирск.

Улоф Пальме и Рави Шанкар подбрасывают правильную монетку
(вероятность выпадения орла $0.5$). Улоф подбрасывает её $n$ раз,
а Рави $n+1$. Найдите вероятность того, что у Рави будет больше орлов,
чем у Улофа.

Это задача №2, ШАД-2013, Новосибирск.

Задача № 1, ШАД-2013, Новосибирск

Рассмотрим функцию
$\varphi(x) = \sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^{2[\log_2k]}}x^k$.
Найдите $\int\limits_0^1\varphi(x)\varphi'(x)\,dx$.

Это задача №1, ШАД-2013, Новосибирск.

Школа анализа данных -- задача про $\sin^8 x$

Вычислите $\int\limits_0^{2\pi}(\sin x)^8\,dx $.

Это задача №2 из примера варианта письменного экзамена в школу анализа данных Яндекса.

Школа анализа данных -- задача про 2012 гирек

Даны 2012 гирек разной массы. Они разбиты на две группы (по 1006 в каждой),внутри которых упорядочены по массе. Предложите способ за 11 взвешиваний найти 1006-ую гирьку по массе среди всех.

Это задача №1 из примера варианта письменного экзамена в школу анализа данных Яндекса.