Школа анализа данных -- задача про $\sin^8 x$

Вычислите $\int\limits_0^{2\pi}(\sin x)^8\,dx$.

Это задача №2 из примера варианта письменного экзамена в школу анализа данных Яндекса.

Решение:

Сначала ответ: $\frac{35}{64}\pi$.
Вычислять такой интеграл можно различными способами. Я предлагаю способ, который мне понравился.

Рассмотрим более общий случай, что будет если степень не $8$, a $n$.

$$\begin{equation} \int\limits_0^{2\pi}(\sin x)^n\,dx. \end{equation}$$
Интегрируя по частям имеем
$$\begin{multline}\label{eq1} \int\limits_0^{2\pi}(\sin x)^n\,dx = -(\sin x)^{n-1}\cos x \Bigl|_0^{2\pi} +   (n-1)\int\limits_0^{2\pi}(\sin  x)^{n-2}(\cos x)^2\,dx\\ = 0 + (n-1)\int\limits_0^{2\pi}(\sin  x)^{n-2}\,dx -(n-1)\int\limits_0^{2\pi}(\sin  x)^{n}\,dx \end{multline}$$ .
Здесь мы учли то, что $\sin 0 = \sin 2\pi = 0$ и воспользовались равенством $\cos^2x = 1 - \sin^2x$. Если обозначить $I_n = \int\limits_0^{2\pi}(\sin x)^n\,dx$, то $\eqref{eq1}$ примет вид
$$\begin{equation}I_n = (n-1)I_{n-2} - (n-1)I_n \text{ или } I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2} \end{equation}$$
Таким образом, с помощью рекуррентного соотношения  $I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2}$ можно посчитать любой такой интеграл, в том числе и $I_8$:
$$\begin{equation}I_8 = \frac{7}{8}I_6 = \frac{7\cdot 5}{8\cdot 6}I_4= \frac{7\cdot 5\cdot 3}{8\cdot 6\cdot 4}I_2=\frac{7\cdot 5\cdot 3\cdot 1}{8\cdot 6\cdot 4\cdot 2}I_0.\end{equation}$$
А $I_0 = \int\limits_0^{2\pi}(\sin x)^0\,dx =\int\limits_0^{2\pi}\,dx = 2\pi$.
В итоге
$$\begin{equation}\int\limits_0^{2\pi}(\sin x)^8\,dx = I_8 =\frac{7\cdot 5\cdot 3\cdot 1}{8\cdot 6\cdot 4\cdot 2}2\pi = \frac{35}{64}\pi.\end{equation}$$