Список задач ( open problems)

http://aimpl.org/

Какую наибольшую дисперсию может иметь случайная величина, принимающая значения в отрезке от 0 до 1?

Рассмотрим случайную перестановку на $n$ элементах. Докажите, что данные $k$ элементов окажутся в одном цикле с вероятностью $1/k$.

Улоф Пальме и Рави Шанкар подбрасывают правильную монетку
(вероятность выпадения орла $0.5$). Улоф подбрасывает её $n$ раз,
а Рави $n+1$. Найдите вероятность того, что у Рави будет больше орлов,
чем у Улофа.

Это задача №2, ШАД-2013, Новосибирск.

Задача № 1, ШАД-2013, Новосибирск

Рассмотрим функцию
$\varphi(x) = \sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^{2[\log_2k]}}x^k$.
Найдите $\int\limits_0^1\varphi(x)\varphi'(x)\,dx$.

Это задача №1, ШАД-2013, Новосибирск.

Школа анализа данных -- задача про многочлен

Покажите, что многочлен с действительными коэффициентами, принимающий на действительной оси только положительные значения, может быть представлен в виде суммы квадратов многочленов с действительными коэффициентами.

Это задача №3 из примера варианта письменного экзамена в школу анализа данных Яндекса.

Школа анализа данных -- задача про $\sin^8 x$

Вычислите $\int\limits_0^{2\pi}(\sin x)^8\,dx $.

Это задача №2 из примера варианта письменного экзамена в школу анализа данных Яндекса.

Школа анализа данных -- задача про 2012 гирек

Даны 2012 гирек разной массы. Они разбиты на две группы (по 1006 в каждой),внутри которых упорядочены по массе. Предложите способ за 11 взвешиваний найти 1006-ую гирьку по массе среди всех.

Это задача №1 из примера варианта письменного экзамена в школу анализа данных Яндекса.

Poincaré inequality

from The Encyclopedia of Mathematics

in a ball (case $1\leqslant p < n$)

Let $f\in W^1_p(\mathbb R^n)$, $1\leqslant p < n$ and $p^* = \frac{np}{n-p}$ then the following inequality holds

\begin{equation}
\Bigl(\int\limits_{B}|f(x)-f_B|^{p^*}\,dx\Bigr)^{\frac{1}{p^*}} \leqslant C\Bigl(\int\limits_{B}|\nabla f(x)|^{p}\,dx\Bigr)^{\frac{1}{p}}
\end{equation}

for any balls $B \subset \mathbb R^n$, and constant $C$ depends only on $n$ and $p$. Here $f_B = \frac{1}{|B|}\int\limits_{B}f\,dx$.

Lipschitz Function

from Encyclopedia of Mathematics

Начали писать статью про Липшецеву функцию.

Let a function $f:[a,b]\to \mathbb R$ be such that for some constant M and for all $x,y\in [a,b]$
\begin{equation}
|f(x)-f(y)| \leq M|x-y|.
\end{equation}
Then the function $f$ is called Lipschitz on $[a,b]$ , and one writes $f\in \operatorname{Lip}_M[a,b]$.

Generalized derivative

from Encyclopedia of Mathematics.

An extension of the idea of a derivative to some classes of non-differentiable functions. The first definition is due to S.L. Sobolev, who arrived at a definition of a generalized derivative from the point of view of his concept of a generalized function.

Statistic One

Quantum Mechanics & Quantum Computing

Курс  на coursera.
Далее
Quantum Information (Review) - Daniel Gottesman http://www.perimeterscholars.org/336.html
Explorations in Quantum Information - David Cory http://www.perimeterscholars.org/339.html

http://en.wikipedia.org/wiki/Happy_Ending_problem

Интересные задачи

1) Пусть $z_n$ - последовательность комплексных чисел стремящаяся к бесконечности.
 Что можно сказать о нулях ряда $$ f(z) = \sum{\frac{a_n}{z-z_n}},$$ где $a_n$ некоторая последовательность сходящаяся к нулю?

 2)Найти необходимые и достаточные условия на последовательность {a_n}, для ограниченности степенного ряда \sum{a_nx^n} на действительной прямой.

 3)Пусть H - бесконечномерное сепарабельное гильбертово пространство. Пусть A:H->H линейный ограниченный оператор. Имеет ли A нетривиальное инвариантное подпространство?

Open Problem Garden

http://garden.irmacs.sfu.ca/   

Квазиконформные отображения (немного истории)

Ссылки:

http://www.ams.org/notices/200611/whatis-heinonen.pdf

http://books.google.ru/books?id=4oWFH7FPb50C&pg=PA87&lpg=PA87&dq=Ahlfors,+Lectures+on+quasiconformal+mappings&source=bl&ots=mZvwqWdtwa&sig=Qkt4OZ8DN6eNlufoj8EBnTOw828&hl=ru&sa=X&ei=72RpT_fHJZSHswaEg9SQCA&ved=0CEsQ6AEwBA#v=onepage&q=Ahlfors%2C%20Lectures%20on%20quasiconformal%20mappings&f=false

http://www.math.utu.fi/projects/madras/w_proc_antti.pdf

http://reslib.com/book/Konformnoe_otobrazhenie#7 -- Конформное отображениеКаратеодори К. Конформное отображение.

Math Forum: Rene Descartes (Chameleon Graphing: Plane History)

Math Forum: Rene Descartes (Chameleon Graphing: Plane History):

Про то, как Декарт не использовал отрицательные числа. 

Одна философская проблема математики

Это довольно странно спрашивать математиков о таких проблемах.  Думаю что для них никаких философских проблем не существует. Но всё же, иногда приходится об этом говорить. Здесь я предлагаю свои рассуждения  по поводу "бытия математических объектов".

Двоичные кубы / Dyadic decomposition

$(a_1\cdot2^{-k},(a_1+1)\cdot2^{-k})\times\cdots\times(a_n\cdot2^{-k},(a_n+1)\cdot2^{-k})$

Двоичные кубы в метрических пространствах http://arxiv.org/abs/1012.1985