Улоф Пальме и Рави Шанкар подбрасывают правильную монетку
(вероятность выпадения орла $0.5$). Улоф подбрасывает её $n$ раз,
а Рави $n+1$. Найдите вероятность того, что у Рави будет больше орлов,
чем у Улофа.

Это задача №2, ШАД-2013, Новосибирск.

Решение.

Шаг 1. Практически очевидно, что число орлов  у Улофа $X_y$
принадлежит биномиальному распределению $B(n,\frac{1}{2})$,
а число орлов у Рави $X_p$ --- биномиальному распределению $B(n+1,\frac{1}{2})$.
Таким образом, требуется найти вероятность
$$P(X_p-X_y>0).$$

Шаг 2. Воспользуемся следующим свойством биномиального распределения:

$Y_1$ принадлежит распределению $B(n_2,p)$, а $Y_2$ --- $B(n_2,p)$, то $Y_1+Y_2$ принадлежит $B(n_1+n_2,p)$

Можно показать, что $n-X_y$ принадлежит $B(n,p)$.
Тогда, в силу свойства указанного выше, имеем $Z = n+X_p-X_y$ принадлежит распределению $B(2n+1,\frac{1}{2})$.
Тогда искомая вероятность примет вид
$$P(Z>n).$$

Шаг 3. По определению биномиального распределения получаем
$$P(Z>n) = \sum\limits_{k=n+1}^{2n+1}C_{2n+1}^{k}\left(\frac{1}{2}\right)^{2n+1}.$$
Учитывая свойство симметрии биномиальных коэффициентов
($C_{n}^{k} = C_{n}^{n-k}$) и тот факат, что число $2n+1$ не чётное, выводим
$$P(Z>n) = \frac{1}{2}\sum\limits_{k=0}^{2n+1}C_{2n+1}^{k}\left(\frac{1}{2}\right)^{2n+1}.$$
Число $\left(\frac{1}{2}\right)^{2n+1}$ можно вынести за знак суммы (не зависит от $k$). Воспользуемся формулой $\sum\limits_{k=0}^{n}C_{n}^{k} = 2^n$.
В итоге получим
$$P(Z>n) = \frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2n+1}\cdot2^{2n+1} = \frac{1}{2}.$$

p.s. Другое решение в http://voidus.tumblr.com/post/24678682034.