Задача № 1, ШАД-2013, Новосибирск

Рассмотрим функцию
$\varphi(x) = \sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^{2[\log_2k]}}x^k$.
Найдите $\int\limits_0^1\varphi(x)\varphi'(x)\,dx$.

Это задача №1, ШАД-2013, Новосибирск.

Решение.

Шаг 1. Имеем
$$\int\limits_0^1\varphi(x)\varphi'(x)\,dx = \int\limits_0^1\varphi(x)\,d\varphi'(x) = \frac{(\varphi(1))^2}{2} - \frac{(\varphi(0))^2}{2} = \frac{1}{2}\left(\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^{2[\log_2k]}}\right)^2,$$
поскольку $\varphi(0)=0$.

Шаг 2. Остаётся найти сумму ряда
$$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^{2[\log_2k]}}.$$
Можно заметить, что последовательность $[\log_2k]$ выглядит следующим образом
$$0,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,4,\dots$$
затем шестнадцать четвёрок, тридцать две пятёрки и т.д.

Таким образом, если сгруппировать одинаковые слагаемые, ряд имеет вид
$$1 + \frac{2}{2^2} + \frac{4}{4^2} + \frac{8}{8^2} + \frac{16}{16^2} + \cdots$$  
или
$$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots$$
То есть, этот ряд является геометрической прогрессией со знаменателем $\frac{1}{2}$. Сумма этой прогрессии $S = \frac{1}{1-\frac{1}{2}} = 2$.

Шаг 3. В итоге получаем $\int\limits_0^1\varphi(x)\varphi'(x)\,dx = 2$.

p.s. Аналогичное решение в http://voidus.tumblr.com/post/24678682034.