Школа анализа данных -- задача про многочлен

Покажите, что многочлен с действительными коэффициентами, принимающий на действительной оси только положительные значения, может быть представлен в виде суммы квадратов многочленов с действительными коэффициентами.

Это задача №3 из примера варианта письменного экзамена в школу анализа данных Яндекса.

Решение:

Пусть $P(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots + a_1x + a_0$ данный многочлен.

Многочлен с указанными свойствами может быть иметь только чётную степень. Иначе при достаточно больших абсолютных значениях $x$ он будет принимать значения разных знаков (в зависимости от знака $a_nx^n$), что противоречит условиям. Также, $a_n>0$ и $a_0>0$. Поэтому можно считать, что многочлен имеет вид $$\begin{equation} P(x) = x^{2k}+a_{2k-1}x^{2k-1}+\cdots + a_1x + a_0. \end{equation}$$ Напомним, что по условию $P(x)>0$, что означает отсутствие вещественных корней. Следовательно все корни комплексные. Поскольку коэффициенты многочлена действительные, то все комплексные корни представляют совой пары сопряженных чисел: $\{x_1, \overline{x}_1,\dots x_k, \overline{x}_k\}$. Тогда многочлен можно записать в виде $$\begin{equation} P(x) = (x-x_1)\cdot(x-\overline{x}_1)\cdot \cdots \cdot(x-x_k)\cdot(x-\overline{x}_k). \end{equation}$$ Для произвольной пары имеем: $$\begin{equation} (x-x_i)\cdot(x-\overline{x}_i) = x^2 -(x_i+\overline{x}_i)x + x_i\cdot\overline{x}_i = x^2 -\operatorname{Re}(x_i)x + |x_i|^2. \end{equation}$$ Действительная часть $\operatorname{Re}(x_i)$ и квадрат модуля $|x_i|^2$ комплексного числа являются действительными числами. Другими словами, мы можем записать $(x-x_i)\cdot(x-\overline{x}_i) = x^2+b_ix+c_i$, где $b_i,c_i\in\mathbb R$. В свою очеред многочлен принимает вид $$\begin{equation} P(x) = (x^2+b_1x+c_1)\cdot \cdots \cdot(x^2+b_kx+c_k). \end{equation}$$ Отсутствие вещественных корней влечёт неравенство $b_i^2-4c_i<0$ (иначе квадратное уравнение $x^2+b_ix+c_i$ имело бы действительные корни). Выделим полный квадрат в каждом из квадратичных множителей: $x^2+b_ix+c_i = (x+\frac{b_i}{2})^2+c_i - \frac{b_i^2}{2^2}$. Обозначим $q_i=c_i - \frac{b_i^2}{2^2}$. Тогда $$\begin{equation} P(x) = ((x+b_1/2)^2+q_1)\cdot \cdots \cdot((x+b_k/2)^2+q_k). \end{equation}$$ Отметим, что $q_i>0$, в частности мы можем писать $q_i = (\sqrt(q_i))^2$. Теперь раскроем скобки в предыдущем представлении многочлена: $$\begin{multline} P(x) = (x+b_1/2)^2\cdot(x+b_2/2)^2\cdots(x+b_k/2)^2\\ +q_1\cdot(x+b_2/2)^2\cdots(x+b_k/2)^2 + q_1\cdot q_2\cdots q_k\\ =\left[(x+b_1/2)\cdot(x+b_2/2)\cdots(x+b_k/2)\right]^2\\+ [\sqrt{q_1}\cdot(x+b_2/2)\cdots(x+b_k/2)]^2+ [\sqrt{q_1}\cdot\sqrt{q_2}\cdots\sqrt{q_k}]^2. \end{multline}$$ Другими словами $$\begin{equation} P(x) = Q_1^2 + Q_2^2 + \cdots + Q_{2^k}^2, \end{equation}$$ где $Q_1 = (x+b_1/2)\cdot(x+b_2/2)\cdots(x+b_k/2)$, $Q_2 = \sqrt{q_1}\cdot(x+b_2/2)\cdots(x+b_k/2)$,$\dots$, $Q_{2^k} = \sqrt{q_1}\cdot\sqrt{q_2}\cdots\sqrt{q_k}$ -- многочлены с действительными коэффициентами.
Таким образом мы доказали что любой многочлен принимающий только положительные значения на вещественной прямой может быть представлен в виде суммы квадратов многочленов с действительными коэффициентами.