Определим последовательность $\{x_n\}$ начальными условиями $x_1=a$,
$x_2=b$ и рекуррентной формулой $x_{n+1}=\frac{1}{2}(x_n+x_{n-1})$.
Найдите $\lim\limits_{n\to\infty}x_n$.

Это задача №3, ШАД-2013, Новосибирск.

Решение.

Можно считать, что $a>b$.
Имеем $x_{n+1}$ --- среднее арифметическое чисел $x_n$ и $x_{n-1}$,
и заначит, $x_{n+1}$ находится в середине оттрезка $[x_{n-1},x_n]$.
Так, например $x_3$ --- середина отрезка $[a,b]$,
$$x_3 = b -\frac{b-a}{2}.$$
А $x_4$ --- середина $[x_3,x_2]$,
$$x_4=x_3+\frac{b-a}{4} = b -\frac{b-a}{2} + \frac{b-a}{4}.$$
И так далее
$$x_n = b - (b-a)\cdot\left(\frac{1}{2} -\frac{1}{4} +\frac{1}{8} - \cdots + \frac{(-1)^n}{2^{n-2}} \right).$$
Сумма в скобках это частичная сумма геометрической пргрессии со знаменателем $-\frac{1}{2}$.
При $n\to\infty$ эта сумма сходится к $\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}$.
Таким образом,
$$\lim\limits_{b\to\infty}x_n = b - (b-a)\cdot\left(\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}\right) = \frac{3b+a}{3}.$$