Вычислить интеграл
$$\int^{\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^{2014}x}{\sin^{2014}x+\cos^{2014}x}\, dx.$$

Какую наибольшую дисперсию может иметь случайная величина, принимающая значения в отрезке от 0 до 1?

Рассмотрим случайную перестановку на $n$ элементах. Докажите, что данные $k$ элементов окажутся в одном цикле с вероятностью $1/k$.

Круговая трасса

Есть круговая трасса, на которой в некоторых местах стоят бензоколонки.
Расстояния между ними и количество бензина на каждой бензоколонке известны.
Имеется также машина с постоянным и известным расходом топлива.
Предложите алгоритм, работающий за $O(n)$ по времени, который позволяет найти ту, бензоколонку,
начиная с которой можно проехать всю трассу, или сказать, что такой нет.

Это задача №5, ШАД-2013, Новосибирск.

Математическое ожидание числа неподвижных точек

Найдите математическое ожидание числа неподвижных точек для случайной перестановки на $n$ элементах.

Это задача №4 ШАД-2013, Новосибирск.

Определим последовательность $\{x_n\}$ начальными условиями $x_1=a$,
$x_2=b$ и рекуррентной формулой $x_{n+1}=\frac{1}{2}(x_n+x_{n-1})$.
Найдите $\lim\limits_{n\to\infty}x_n$.

Это задача №3, ШАД-2013, Новосибирск.

Улоф Пальме и Рави Шанкар подбрасывают правильную монетку
(вероятность выпадения орла $0.5$). Улоф подбрасывает её $n$ раз,
а Рави $n+1$. Найдите вероятность того, что у Рави будет больше орлов,
чем у Улофа.

Это задача №2, ШАД-2013, Новосибирск.

Задача № 1, ШАД-2013, Новосибирск

Рассмотрим функцию
$\varphi(x) = \sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^{2[\log_2k]}}x^k$.
Найдите $\int\limits_0^1\varphi(x)\varphi'(x)\,dx$.

Это задача №1, ШАД-2013, Новосибирск.

В теории

"Marge, I agree with you - in theory.
In theory, communism works. In theory."
-- Homer Simpson

in theory ---  блог профессора Luca Trevisan из Стенфорда, интересно и познавательно.
В частности,  он написал скрипт LaTeX2WP, который помогает использовать latex на wordpress.com.

p.s. А ещё, мне нравится эпиграф к его блогу.

Сингулярное разложение, песня

А вообще, сингулярное разложение это...

Золотой телёнок на английском

Недавно наткнулся на попытку перевести золотого телёнка (a volunteer translation project).

 You have to love pedestrians. Pedestrians make up the greater part of humanity. The best part, no less. Pedestrians created the world. It was they who built the cities, raised skyscrapers, laid sewage and water lines, paved the streets and lit them with electric lights....

Управление мобильными роботами

Речь пойдёт о создании и управлении мобильными роботами. Привлекает, что будет изучаться теория управления динамических систем (вообще, это из дифференциальных уравнений).

Математики не совсем не много, всё объясняется на конкретных примерах.

https://www.coursera.org/course/conrob

Какой сегодня день?

Хороший!

Квадратичная форма...

на мотив песни "Беловежская пуща", слова: М.В.Волков и А.А.Махнев

Есть у тела объем, у отрезка длина
Мера есть у угла, есть у вектора норма
Много разных вещей, а причина одна
Квадратичная форма, квадратичная форма.