Пример топологического поля, которое не гомеоморфно метризованному полю

Эту задачу нам задали на аналитической теории чисел. ММФ НГУ 2010.

Задача:  Приведите пример топологического поля, не гомеоморфного никакому метризованному полю.
Решение:  Пусть $X$ -  поле, $(F, v)$ - любое метризованное поле. Введём на нём топологию $\tau = \{X, \emptyset\}$ , состоящую из всего пространства $X$ и пустого множества (антидискретная топология). Тогда любая функция в $X$ будет непрерывна, т.е. непрерывны $+$ и $\cdot$. Таким образом $(X, \tau)$ - топологическое поле.
Пусть $f : X\to F$ - взаимооднозначное соответствие.  Предположим, что $f$ непрерывно. Возьмём последовательности $x_n \to x$ в $(X, \tau)$, тогда в силу непрерывности $f(x_n) \to f(x)$  Но в пространстве $(X, \tau)$ любая последовательность сходится к любому элементу (предел последовательности): $x_n \to y$  $(y \ne x)$. Следовательно $f(x_n) \to f(у)$ Противоречие т.к. в $(F, v)$ предел единствен.