Математическое ожидание числа неподвижных точек

Найдите математическое ожидание числа неподвижных точек для случайной перестановки на $n$ элементах.

Это задача №4 ШАД-2013, Новосибирск.

Определим последовательность $\{x_n\}$ начальными условиями $x_1=a$,
$x_2=b$ и рекуррентной формулой $x_{n+1}=\frac{1}{2}(x_n+x_{n-1})$.
Найдите $\lim\limits_{n\to\infty}x_n$.

Это задача №3, ШАД-2013, Новосибирск.

Улоф Пальме и Рави Шанкар подбрасывают правильную монетку
(вероятность выпадения орла $0.5$). Улоф подбрасывает её $n$ раз,
а Рави $n+1$. Найдите вероятность того, что у Рави будет больше орлов,
чем у Улофа.

Это задача №2, ШАД-2013, Новосибирск.

Задача № 1, ШАД-2013, Новосибирск

Рассмотрим функцию
$\varphi(x) = \sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^{2[\log_2k]}}x^k$.
Найдите $\int\limits_0^1\varphi(x)\varphi'(x)\,dx$.

Это задача №1, ШАД-2013, Новосибирск.

В теории

"Marge, I agree with you - in theory.
In theory, communism works. In theory."
-- Homer Simpson

in theory ---  блог профессора Luca Trevisan из Стенфорда, интересно и познавательно.
В частности,  он написал скрипт LaTeX2WP, который помогает использовать latex на wordpress.com.

p.s. А ещё, мне нравится эпиграф к его блогу.