Квизы по математике

http://tipschief.com/

Список задач ( open problems)

http://aimpl.org/

Вычислить интеграл
$$ \int^{\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^{2014}x}{\sin^{2014}x+\cos^{2014}x}\, dx. $$

Какую наибольшую дисперсию может иметь случайная величина, принимающая значения в отрезке от 0 до 1?

Рассмотрим случайную перестановку на $n$ элементах. Докажите, что данные $k$ элементов окажутся в одном цикле с вероятностью $1/k$.

Круговая трасса

Есть круговая трасса, на которой в некоторых местах стоят бензоколонки.
Расстояния между ними и количество бензина на каждой бензоколонке известны.
Имеется также машина с постоянным и известным расходом топлива.
Предложите алгоритм, работающий за $O(n)$ по времени, который позволяет найти ту, бензоколонку,
начиная с которой можно проехать всю трассу, или сказать, что такой нет.

Это задача №5, ШАД-2013, Новосибирск.

Математическое ожидание числа неподвижных точек

Найдите математическое ожидание числа неподвижных точек для случайной перестановки на $n$ элементах.

Это задача №4 ШАД-2013, Новосибирск.

Определим последовательность $\{x_n\}$ начальными условиями $x_1=a$,
$x_2=b$ и рекуррентной формулой $x_{n+1}=\frac{1}{2}(x_n+x_{n-1})$.
Найдите $\lim\limits_{n\to\infty}x_n$.

Это задача №3, ШАД-2013, Новосибирск.

Улоф Пальме и Рави Шанкар подбрасывают правильную монетку
(вероятность выпадения орла $0.5$). Улоф подбрасывает её $n$ раз,
а Рави $n+1$. Найдите вероятность того, что у Рави будет больше орлов,
чем у Улофа.

Это задача №2, ШАД-2013, Новосибирск.