Peano curves

http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Hilbert_curve.svg

No day fo SunDay :

VP! Final after four weeks !!

x*y = 0.03

phi(x,y) =  (ch(2*y) - cos(2*x))/ (ch(2*y)+ cos(2*x))

Oтчёт.

1.Задача о движении r(x,y) частицы в потенциальном поле phi(x,y) сводится к решению системы дифференциальных уравнений: x’’=n*Ex, y’’=n*Ey, где E = (Ex,Ey) = -grad(phi) (здесь n = -0.5). Вообще говоря, решая эту систему, мы получим целый класс решений, поэтому будем решать задачу Коши, задав четыре начальных условий.

2.Вместо исходной системы 2-го порядка будем решать систему из 4-х уравнений 1-го порядка: x’=Vx, y’=Vy, Vx’= n*Ex, Vy’=n*Ey;

Эта система решаться будет решаться 2-х шаговым методом Адамса (2-й порядок аппроксимации).Задаём начальные условия: (Vx,Vy,x,y)(0) .На заданном промежутке [0,T] задаём сетку omega с шагом tau, далее по формулам Адамса получаем приближённое значение искомой функции в точках сетки (на самом деле получаем (Vx,Vy,x,y)(t) для t из сетки, но нас больше интересует (x,y)(t)).Причём значения Ex и Ey вычисляются либо аналитически, либо численно.

3.Численны эксперимент проводится следующим образом. Задаются x0, y0, точное решение Vx, Vy (для получения Vx0, Vy0), множество допустимых значений для (x,y) и функция С(x,y), которая является константой на решении. Затем вычисляется значение С(x0,y0) и модуль разности dc = | С(x0,y0) - С(x(t),y(t)) | для t из сетки. Величина dc показывает отклонение от точного решения в узлах сетки.

4.Конкреные задачи:

1. phi(x,y) = R^2 = x^2 + y^2, x0 = 0.03, y0 = 1, Vx = x, Vy = -y, x*y=const, 0<=x,y<=1.

[0,1]

2. phi(x,y) = (ch(2*y) - cos(2*x))/ (ch(2*y) + cos(2*x)), x0 = pi/8 + 0.02*pi, y0 = 0, Vx = sh(2*y)/ (ch(2*y) + cos(2*x)), Vy = sin(2*x)/ (ch(2*y) + cos(2*x)), ch(2*y) + cos(2*x) = const, pi/0<=x<=pi/2, 0<=y<=1;

[0,1.5]

T.1<заача1, производная аналитически>

0: tau = 0.100000 :epsilon = {0.000013264} : teta = 0.000000
1: tau = 0.050000 :epsilon = {0.000001773} : teta = 7.481632
2: tau = 0.025000 :epsilon = {0.000000228} : teta = 7.767609
3: tau = 0.012500 :epsilon = {0.000000029} : teta = 7.891569
4: tau = 0.006250 :epsilon = {0.000000004} : teta = 7.947852
5: tau = 0.003125 :epsilon = {0.000000000} : teta = 7.974459

T.2<заача2, производная аналитически>

0: tau = 0.150000 :epsilon = {0.129584737} : teta = 0.000000
1: tau = 0.075000 :epsilon = {0.049796368} : teta = 2.602293
2: tau = 0.037500 :epsilon = {0.014756422} : teta = 3.374556
3: tau = 0.018750 :epsilon = {0.003967076} : teta = 3.719723
4: tau = 0.009375 :epsilon = {0.001025155} : teta = 3.869734
5: tau = 0.004687 :epsilon = {0.000260354} : teta = 3.937545

April 16, 2007

parallelepiped

there are six points:

1) when R^1 it is lenght
.................................................
2)when R^2 it is area ..........

.........................................._________
3)when R^3 it is volume....../_______ /|
............................. ............|.......... ...|. |
..........................................| _ _ _ _ .|. |
..........................................|/____ __|/

4)R^n ~ V = Vbase*h

5) algebra
6)Analisis
a) Lebeg b) Hausorff

Sunday is not good ay now.

Good time for Thursday!

Oh, yes it is Thursday.

MEM-things at today: 333-08-37, vol_sb@mail.ru , 8-913-934-31-05.
хочу поехать по волонтёрской программе 

Too Bad Monday

Lets it is uniform grid!

SunDay

I really love ENGLISH Language

It's TRUE

Xe-Xe

Republic of South Africa

Flag

Capital:
Pretoria (executive)Bloemfontein (judicial)Cape Town (legislative)

;)

New proof that one equals zero

It's easy! 1=0!

Cantor function

Rademacher's theorem

DaYtOday

Euclidean + Hyperbolic + Elliptic = Bootlean

tO dAY

1/) TerMex --442
2\) nothing
3.) Matan -- 253
4+) English. -- 338

Good DAY for Spring!

GoodDayForSun

Good time for SUN

?

I have 2 equations

(r1+r2)^2=(r1+r3)^2+r4^2-2(r1+r3)r4cos(theta)

and

r1^2=(r1+r3)^2+r5^2-2r5(r1+r3)cos(theta-phi)

and I need theta and r1. I know phi,r2,r3,r4 and r5.

contrary instance

Пусть S - кривая (кардиойда), задаваемая уравнением . U - область в R^2, представля собой ограниченную компаненту связности дополнения R^2\S кривой S. Область U не является выпуклой, тем не менее справедлива следущая теорема.

ТЕОРЕМА1: Область U однозначно определяется в классе H всех областей, допускающих продолжение (по непрерывности) их внутренних метрик в замыкание этих областей, условием локальной изометричности границ в относительных метриках.
ДОКОЗАТЕЛЬСТВО: Пердположим, что область V принадлежит классу H, а её граница frV локально изометрична границе FrU области U. Другими словами, существует отображение f:frU->frV такое что...

Далее нам потребуются следущие вспомогательные утверждения.

ЛЕММА1: Пусть K и L - две открытые связные дуги на frU такие что их пересечение не пусто и не одна из них не содержит точку А с координатами (0,0), причём сужения f на K и L (f|K, f|L соответственно) могут быть продолженны до изометрий (Fk и Fl соответственно). Тогода эти изометрии тождественно совпадают.
ДОКОЗАТЕЛЬСТВО: В Пересечении K и L найдутся три точки в общем положении. Тогда изометрии Fk и Fl тождественно совпадают поскольку они совпадают на этих трёх точках.


Рассмотрим некоторую (открытую) дугу K (на frU), если К не содержит точку А, то относительная метрика границы совпадает с евклидовой (в силу Леммы1(статья)). Пусть теперь (открытая) дуга К не содержит А и такова что для любых a, b из К расстояние от a доb равно расстоянию от f(a) до f(b) ( растояние евклидово). Тогда сужение f на K можно продолжить до некоторой изометрии Fk (Этоможно сделать так: на К найдётся три точки в общем положении, зафиксируем их - x1, x2, x3. Пусть x из R^2, выберем точку y такую что расстояние междуy и f(xi) равно растоянию равно растоянию от x до xi для i=1,2,3. Пологаем F(x)=y -это и есть искомое продолжение (изометрия)).
Пусть L дуга удовлетворяющая тем же условиям что и К. Если пересечение K и L не пусто, для них имеет место ЛЕММА1.

Покажем что f продолжается до изометрии F всей плоскости. Пусть на S ведена натуральная параметризация k(t) (s0 - длинна кривой). Выберем точку k(s0/2).
Рассмотрим можество W параметров t из интервала [0;s0/2) таких что сужение f на дугу соответствующюю параметрам (t;i) продолжается до изометрии F всей плоскости. i достаточно близко к s0/2 и i>s0. W не пусто поскольку содержит непустой промежуток (j;i), где j достаточно близко к s0 и j< infw="" a="" b="" 1="" t0="" t="" f="" s0="" m="" infm="" x="" w="" s="" s1="" 2="">s1>s1>0, но F суженое на k( (s;s0/2) ) совпадает на сужением f на k( (s;s0/2) ). Также для любой точки x из k(M) F(x)=f(x).
W и M удовлетворяют условиям ЛЕММЫ1. Итак f продолжается до изометрии F всей плоскости.

Доказано frV=F(frU), то есть U - область в R^2, представля собой одну из компанент связности связности дополнения R^2\S кривой S. Существует отрезок с концами на frU и целиком лежащий в U, в силу Лемм1(статья) для V существует такой же отрезок. Следовательно V ограничена.
ТЕОРЕМА1 доказана.

Good day for friday

I like English !!!

?

1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ... = ?

Raspisanie IV-term (2007)

Raspisanie IV-term (2007)

I like MATAN

I like MATAN

Polynomial