Абсолютная непрерывность на линиях

Я начинаю делать записи косаемые моих заняти математикой, и математическим анализом в частности.  Сорее это конспект. Собственно для этого я начал contmath.wordpress.com В данной заметке я изложил содержание одного пункта из книги.

В одномерном случае это звучит так:

Определение 1. Функция $f(a,b)\rightarrow\mathbb{R}$ абсолютно непрерывна на конечном или бесконечном отрезке $(a,b)$ если $\forall \varepsilon\quad \exists \delta$ так, что для любого набора пересекающихся интервалов $(x_i,y_i) \subset (a,b)$
$$\begin{equation} \sum\limits_i|y_i-x_i| < \delta \Rightarrow \sum\limits_i|f(y_i)-f(x_i)| \end{equation}$$
Чтобы ввести подобное определение для функции заданной на $R^n$ потребовались



дополнительные конструкции. Собственно с них и начнём. Пусть $x = (x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n$, определим $p_i(x) = (x_1,\ldots,\hat{x_i},\ldots,x_n)\in \mathbb{R}^{n-1}$, то есть, вычёркиваем $i$-ю координату. Обратно, для $y\in \mathbb{R}^{n-1}$ положим $(y,t)_i=x$, где $x$ такой, что $x_i=t$ и $p_i(x)=y$.Таким образом, $(p_i(x),x_i)_i=x$.
Пусть $A\subset\mathbb{R}^n$, $y\in\mathbb{R}^{n-1}$ определим множество $A^i_y = \{t\in\mathbb{R}:(y,t)_i\in A \}$, см. рис.

$A^i_y$

В общем случае множество $A^i_y$ может состоять из объединения интервалов и отдельных точек.

 Если множество $A$ открыто, то и  $A^i_y$ открыто.

Определение 2. Пусть $f:U\rightarrow\mathbb{R}$, где $U\subset\mathbb{R}^n$ открытое множество Функция f называется абсолютно непрерывной в смысле Тонелли, если отображение $t\mapsto f((y,t)_i)$ 

1.   Для любого $i$ и для почти всех $y\in p_i(U)$ абсолютна непрерывна на $U^i_y$; 
2.   Производная $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ понимаемая в смысле предела $\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+he_i)-f(x)}{h}$ локально интегрируема в $U$.

Обозначим $\varphi_{i,y}(t) = f((y,t)_{i})$ и переформулируем определение. Для того, чтобы функция $f$ была абсолютно непрерывной в смысле Тонелли требуется локальная интегрируемость частных производных $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ и абсолютная непрерывность отображений $\varphi_{i,y}(t):A^i_y\rightarrow\mathbb{R}$ для почти всех $y\in p_i(U)$.
Одна из основных причин введения этого определения, насколько я могу понимать, заключается в следующем утверждении.
Th1: Класс функций абсолютно непрерывных в смысле Тонелли совпадает с $W^1_{1,loc}(U)$.

Кроме приведённого выше определения существуют другие. На вопрос о возможности обобщения абсолютной непрерывности, который я задал на http://mathoverflow.net мне дали два разных ответа. О других подходах к определению абсолютно непрерывности я напишу позже

Материял полностью основан на книге Пространственные отображения с ограниченным искажением http://books.google.ru/books?id=uRCIxfsgyGgC&lpg=PP1&hl=ru&pg=PA19#v=onepage&q&f=false