Продолжение доказательства теоремы ??

Без малого год. И всё там же. Доказано, только неравенство Пуанкаре в специальной форме.

Vision and Hodge Theory

Vision and Hodge Theory
Stephen Smale

Хотелось бы понять, что он говорил :)

Уравнение Ван-дер-Поля.

$$\begin{equation} \ddot{x} - \lambda(1-x^2)\dot{x} + \omega^2x = 0 \end{equation}$$
Неизвестно точное решение этого уравнения.

Пример топологического поля, которое не гомеоморфно метризованному полю

Эту задачу нам задали на аналитической теории чисел. ММФ НГУ 2010.

Задача:  Приведите пример топологического поля, не гомеоморфного никакому метризованному полю.
Решение:  Пусть $X$ -  поле, $(F, v)$ - любое метризованное поле. Введём на нём топологию $\tau = \{X, \emptyset\}$ , состоящую из всего пространства $X$ и пустого множества (антидискретная топология). Тогда любая функция в $X$ будет непрерывна, т.е. непрерывны $+$ и $\cdot$. Таким образом $(X, \tau)$ - топологическое поле.
Пусть $f : X\to F$ - взаимооднозначное соответствие.  Предположим, что $f$ непрерывно. Возьмём последовательности $x_n \to x$ в $(X, \tau)$, тогда в силу непрерывности $f(x_n) \to f(x)$  Но в пространстве $(X, \tau)$ любая последовательность сходится к любому элементу (предел последовательности): $x_n \to y$  $(y \ne x)$. Следовательно $f(x_n) \to f(у)$ Противоречие т.к. в $(F, v)$ предел единствен.

Cоотношения между определителем и числом обусловленности

Примеры матриц с различными соотношениями между определителем и
числом обусловленности.

~1~

Рассмотрим матрицу размера $n\times n$
$$\begin{equation}A = \left(\begin{array}{cccc} \rho& 0& \cdots& 0\\ 0& \rho & \cdots& 0\\ \vdots&  & \ddots& \vdots\\ 0& \cdots& 0& \rho\end{array}\right), \end{equation}$$
где $0<\rho<1$. Чисто обусловленности $\kappa(A)=1$ при любых параметрах.
В то же время определитель может быть очень мал. Например при $n=30$
и $\rho = \frac{1}{2}$ получаем $\operatorname{det}A =9.313\cdot10^{-10}.$

~2~

Другую ситуацию можно продемонстрировать на матрице
$$\begin{equation}B = \left(\begin{array}{cccc} 5& 7& 6& 5\\ 7& 10 & 8& 7\\ 6& 8 & 10& 9\\ 5& 7& 9& 10\end{array}\right). \end{equation}$$
Здесь $\operatorname{det}B = 1$, а число обусловленности $\kappa(B) = 2.984\cdot10^{3}$ Последствия такого числа могут быть весьма
существенны.

Если мы немного "пошатаем" коэффициенты $B$ и рассмотрим
например
$$\begin{equation}B' = \left(\begin{array}{cccc} 5+\varepsilon& 7& 6& 5\\ 7& 10 & 8& 7\\ 6& 8 & 10& 9\\ 5& 7& 9& 10\end{array}\right). \end{equation}$$
Взяв $\varepsilon = -\frac{1}{68} \approx 0.0147$, то получим $\operatorname{det}B = 0$.
С другой стороны известна оценка Адамара для значения определителя:
$$\begin{equation*} |\operatorname{det}(a_{ij})| \leqslant \sqrt{\prod\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^{n}|a_{ij}|^2} \end{equation*}$$
для матрицы $B$
$$\begin{equation*} |\operatorname{det}(B)| \leqslant \sqrt{2534437350} \approx 50000. \end{equation*}$$
В силу достижимости оценки Адамара при таких же суммах квадратов
модулей элементов строк модуль определителя $B$ может доходить до
$50000$.

Хороший день положить этому конец.

Это один из корпусов института теоретической и экспериментальной физики им. Алиханова. Там ещё много таких красивых мест. Есть например, пруд с уточками, много дубов и старых построек. Самый спокойный уголок.

Виктор Павлович Утробин.

 И как бы я ни хотел подводить кого-нибудь. Не оправдывать надежды. И понятно, что фразой "Это жизнь" не объяснишь. Но я действую в рамках правил и стараюсь быть честным.

Хороший день для молока и хлеба.

"Прeмьер угостил президeнта молоком." Это фотография газеты metro. По радио Эхо Москвы тоже говорили про это. Мне кажется, всем понятно, что это просто шоу. Или не всем? Неужели Они делают свою работу так хорошо и замечательно? 

 "Зюгaнов просит соратников КПРФ материально помочь партии". И это я слышу утром по радио. Да, я видел этих соратников - с потухшим взглядом и с серыми лицами под пятьдесят лет раздают газетки. Отсутствие материальной базы очевидно. Но а сам Зюгaнов, какая у него машина? А как он живёт, в достатке?
Они живут хорошо, а я плохо. даже при том условии, что надо отвечать только за себя...


Но это так, просто слишком часто слушал новости последнее время.

Окно 12-25

k

Примерно такой вид из 12-25. Но экзамен будет проходить в 12-24. Там вообще никакого вида нет.

В итоге ничего и не было. Мне показалось,  что фундаментальная физика фундаментальней интересней фундаментальной прикладной механики. И пускай я теперь не знаю что мене теперь с этим делать и как дальше жить, но жалеть об этом своём выборе я пока не собираюсь.

Могучая башня указывала направление северо-восток

 Вот в чём штука. Северо-восток это не только МФТИ, но и Новосибирск.

Уже неделю. И не понятно.

\

Кто бы мог подумать, что это площадь... 

Как я поверил! Но сегодня мне объяснили, что это фотошоп.

А не понятно вот что: получится ли у меня и в этот раз? Всю эту неделю пробегал туда-сюда. Пока не могу толком сосредоточиться. Посмотрим что дальше.

Экспресс курс МА от Владимира Вениаминовича Иванова

Monday