Продолжение доказательства теоремы -2.

С К сказал, что он понял как решить проблему.
А именно: Существует такой шар $B$, что мера прообраза не нуль, иначе градиент $\varphi$ равен нулю (из формулы замены переменных ?), а это невозможно. Мы рассматриваем множество Sigma'\B, где Sigma' то самое множество нулевой ёмкости. Тогда, используя неравенство Пуанкаре можно показать, что прообраз множества Sigma'\B имеет ёмкость нуль. Далее мы покрываем шар B счетным числом шаров {B1i }i=1,2... ,содержащихся в B (такое покрытие существует: Разбиение Уитни). Поскольку прообраз B больше нуля, найдётся шар B1k с ненулевым прообразом. И так далее. Получаем последовательность сходящихся шаров {Bj }j=1,2.... Пусть точка b предел этой последовательности.

---

Теперь мои рассуждения. Можно применить теорему 6.1 (из статьи "Пространства Соболева и гиппоэллиптические уравнения") её пункт (vi) :
Если E1\sub E2\sub ...\sub UEi = E X, то Cap(E;F(X)) = limCap(Ei;F(X)).
В моём случаи это: phi^-1(Sigma'\B) \sub phi^-1(Sigma'\B1)\sub ... \sub phi^-1(Sigma'\b) . Таким образом Cap(phi^-1(Sigma'\b)) = 0. Осталось разобраться с точкой b.
Что если поступить так же как и выше: найти шар не содержащий b и обладающий прообразом положительной меры. Тогда мы докажем, что прообраз  точки имеет нулевую ёмкость. Как найти такой шар ?
Для точки b найдётся такй шар Q в D' без {b}, что мера
phi^{-1}(Q) не ноль, иначе градиент phi = 0 в D. Применяя
для $\varphi^{-1}(b)$ (1) и ограниченность оператора $\varphi*$
имеем $\operatorname{cap}(\varphi^{-1}(b); W^1_q(G,u)) = 0$.