VP! Final after four weeks !!

x*y = 0.03

phi(x,y) =  (ch(2*y) - cos(2*x))/ (ch(2*y)+ cos(2*x))

Oтчёт.

1.Задача о движении r(x,y) частицы в потенциальном поле phi(x,y) сводится к решению системы дифференциальных уравнений: x’’=n*Ex, y’’=n*Ey, где E = (Ex,Ey) = -grad(phi) (здесь n = -0.5). Вообще говоря, решая эту систему, мы получим целый класс решений, поэтому будем решать задачу Коши, задав четыре начальных условий.

2.Вместо исходной системы 2-го порядка будем решать систему из 4-х уравнений 1-го порядка: x’=Vx, y’=Vy, Vx’= n*Ex, Vy’=n*Ey;

Эта система решаться будет решаться 2-х шаговым методом Адамса (2-й порядок аппроксимации).Задаём начальные условия: (Vx,Vy,x,y)(0) .На заданном промежутке [0,T] задаём сетку omega с шагом tau, далее по формулам Адамса получаем приближённое значение искомой функции в точках сетки (на самом деле получаем (Vx,Vy,x,y)(t) для t из сетки, но нас больше интересует (x,y)(t)).Причём значения Ex и Ey вычисляются либо аналитически, либо численно.

3.Численны эксперимент проводится следующим образом. Задаются x0, y0, точное решение Vx, Vy (для получения Vx0, Vy0), множество допустимых значений для (x,y) и функция С(x,y), которая является константой на решении. Затем вычисляется значение С(x0,y0) и модуль разности dc = | С(x0,y0) - С(x(t),y(t)) | для t из сетки. Величина dc показывает отклонение от точного решения в узлах сетки.

4.Конкреные задачи:

1. phi(x,y) = R^2 = x^2 + y^2, x0 = 0.03, y0 = 1, Vx = x, Vy = -y, x*y=const, 0<=x,y<=1.

[0,1]

2. phi(x,y) = (ch(2*y) - cos(2*x))/ (ch(2*y) + cos(2*x)), x0 = pi/8 + 0.02*pi, y0 = 0, Vx = sh(2*y)/ (ch(2*y) + cos(2*x)), Vy = sin(2*x)/ (ch(2*y) + cos(2*x)), ch(2*y) + cos(2*x) = const, pi/0<=x<=pi/2, 0<=y<=1;

[0,1.5]

T.1<заача1, производная аналитически>

0: tau = 0.100000 :epsilon = {0.000013264} : teta = 0.000000
1: tau = 0.050000 :epsilon = {0.000001773} : teta = 7.481632
2: tau = 0.025000 :epsilon = {0.000000228} : teta = 7.767609
3: tau = 0.012500 :epsilon = {0.000000029} : teta = 7.891569
4: tau = 0.006250 :epsilon = {0.000000004} : teta = 7.947852
5: tau = 0.003125 :epsilon = {0.000000000} : teta = 7.974459

T.2<заача2, производная аналитически>

0: tau = 0.150000 :epsilon = {0.129584737} : teta = 0.000000
1: tau = 0.075000 :epsilon = {0.049796368} : teta = 2.602293
2: tau = 0.037500 :epsilon = {0.014756422} : teta = 3.374556
3: tau = 0.018750 :epsilon = {0.003967076} : teta = 3.719723
4: tau = 0.009375 :epsilon = {0.001025155} : teta = 3.869734
5: tau = 0.004687 :epsilon = {0.000260354} : teta = 3.937545

April 16, 2007